Воспитанник вышневолоцкого футбола. Всю профессиональную карьеру провёл на позиции вратаря, а в любительском футболе играет на разных позициях от вратаря до нападающего.

Игровую карьеру начал в структуре ФК "Химки", где играл и тренировался преимущественно в составе второй команды, выступавшей в КФК по городу Москва.  В 2006 году провёл 2 матча за «Дариду» из Ждановичей, выступавшую в Высшей Лиге Белоруссии. В 2007—2009 гг. играл за ФК «Дмитров», за который провёл 49 матчей в зоне «Запад» Второго дивизиона чемпионата России. 28 июня 2009 года, во время матча между владимирским «Торпедо» и ФК «Дмитров» (1:0), после опасного момента у ворот гостей на 35-й минуте, Архангельский, защищавший ворота «Дмитрова», нанёс несколько ударов защитникам, за что получил от судьи Юрия Бавыкина жёлтую карточку, а в местной прессе его назвали "вратарь-дебошир".

В 2010 году перешёл в «Волочанин-Ратмир», за который провёл 13 матчей. Некоторое время играл исключительно в мини-футбол в структуре московского "Динамо", привлекался в сборную России по этому виду спорта.

В 2011 году вернулся в большой футбол и защищал ворота мурманского «Севера», за который сыграл 14 матчей, а в 2012 году вновь вернулся в «Волочанин-Ратмир». Завершил профессиональную карьеру 4 июня 2012 года матчем «Волочанин-Ратмир» Вышний Волочек - «Истра» Истра - 1:0, кстати в этой игре оппонентом Алексея на другой половине поля был  нынешний голкипер ливеркузенского "Байера" и сборной России Андрей Лунёв.

Всего в профессиональных лигах России и Белоруссии на счету Алексея Архангельского 111 игр.

По окончании профессиональной карьеры играл в Чемпионате Тверской области в командах ФК "Заволжский", ФК "Верхневольжье" и в родном "Волочанине".

Чемпион и обладатель кубка Тверской области (2020), обладатель суперкубка Тверской области (2013, 2016), лучший бомбардир Чемпионата Тверской области (2020).

С октября 2020 года играет в составе СК "Тверь".

Сезон	Команда	Турнир						Место
2004	ФК «Химки-2»	Чемпионат России. 3 дивизион. Зона «Москва»						12 место из 15
2005	«Нара-Десна» Наро-Фоминск	Чемпионат России. 2 дивизион. Зона «Запад»	10		0			5 место из 17
2006	ФК «Зеленоград»	Чемпионат России. 3 дивизион. Зона «Москва»	13	-15	0			1 место из 14
2006	«Дарида» Минский р-н	Чемпионат Беларуси. Высшая лига.	2	-1	0			8 место из 14
2006	«Дарида-дубль» Минский р-н	Чемпионат Беларуси. Турнир дублирующих составов	11	-16	0			10 место из 14
2007	ФК «Дмитров»	Чемпионат России. 3 дивизион. Зона «Московская область»	30	-24	0			2 место из 16
2008	ФК «Дмитров»	Чемпионат России. 2 дивизион. Зона «Запад»	25	-25	0			8 место из 19
2009	ФК «Дмитров»	Чемпионат России. 2 дивизион. Зона «Запад»	24	-21	0			10 место из 18
2010	«Волочанин-Ратмир» Вышний Волочёк	Чемпионат России. 2 дивизион. Зона «Запад»	13	-16	0			7 место из 17
2011/12	«Север» Мурманск	Чемпионат России. 2 дивизион. Зона «Запад»	14	-24	0			11 место из 16
2011/12	«Волочанин-Ратмир» Вышний Волочёк	Чемпионат России. 2 дивизион. Зона «Запад»	10	-12	0			16 место из 16
2012	ФК «Заволжский» Тверь	Чемпионат Тверской области. 1 дивизион						3 место из 10
2013	ФК "Верхневолжье" Калининский р-он	Чемпионат Тверской области. Высший дивизион						2 место из 12
2014	«Волочанин» Вышний Волочек	Чемпионат Тверской области. Высший дивизион						3 место из 12
2015	«Волочанин» Вышний Волочек	Чемпионат Тверской области. Высший дивизион						2 место из 12
2016	«Волочанин» Вышний Волочек	Чемпионат Тверской области. Высший дивизион						3 место из 12
2017	«Волочанин» Вышний Волочек	Чемпионат Тверской области. Высший дивизион	18		3			3 место из 12
2018	«Волочанин» Вышний Волочек	Чемпионат Тверской области. Высший дивизион	18		5			2 место из 12
2019	«Волочанин» Вышний Волочек	Чемпионат Тверской области. Высший дивизион	20		4			3 место из 12
2020	«Волочанин» Вышний Волочек	Чемпионат Тверской области. Высший дивизион	13		16			1 место из 12
2021	«Волочанин» Вышний Волочек	Чемпионат России. 3 дивизион. Зона «Золотое кольцо»	7	-6	0			10 место из 12
2021	СК «Тверь»	Чемпионат Тверской области. 1 дивизион	18		20	0	0	1 место из 23
2022	СК «Тверь»	Чемпионат Тверской области. Высший дивизион